Razão e Proporção

A razão e a proporção são conceitos fundamentais da matemática, pois permitem comparar grandezas e estabelecer relações entre valores. Esses conceitos estão presentes em diversas situações do cotidiano, como em receitas, mapas, escalas, juros e estatísticas.

Antes de entendermos o que é uma proporção, é essencial compreender primeiro o conceito de razão, já que uma proporção é formada a partir da igualdade entre duas razões.

Razão

A razão é o quociente entre dois números ou grandezas de mesma espécie, indicando quantas vezes uma delas contém a outra. Ela é usada para comparar valores, como em casos de velocidade, densidade, escalas, entre outros.

$\boxed{a:b = \frac{a}{b}}$

onde:

$a$ = antecedente
$b$ = consequente (com $b \neq 0$ )

Por exemplo, se uma turma tem 20 meninas e 10 meninos, a razão entre meninas e meninos é:

$\frac{20}{10} = 2$

Isso significa que há 2 meninas para cada 1 menino. Ou seja, a razão indica uma comparação direta entre as duas quantidades.

Proporção

Quando duas razões são iguais, forma-se uma proporção. Em outras palavras, a proporção é uma igualdade entre duas razões — ela mostra que duas comparações mantêm a mesma relação.

$\boxed{\frac{a}{b} = \frac{c}{d}}$

Essa relação pode ser lida como “a está para b assim como c está para d”.

Os elementos da proporção são chamados de:

Extremos: $a$ e $d$
Meios: $b$ e $c$

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, uma das propriedades mais usadas na resolução de problemas:

$\boxed{a \times d = b \times c}$

Essa propriedade é a base da chamada “regra de três”, muito utilizada em cálculos de escalas, porcentagens e variações proporcionais.

Exemplo 1 — Razão simples

Vejamos um exemplo prático para consolidar o conceito de razão.

Em uma fazenda, há 18 vacas e 12 bois. Qual é a razão entre vacas e bois?

1️⃣ Identificação dos dados:

Vacas: $a = 18$
Bois: $b = 12$

2️⃣ Cálculo da razão:

$\frac{a}{b} = \frac{18}{12}$

3️⃣ Simplificação:

$\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

✅ Resultado: A razão entre vacas e bois é de 3 para 2.

Interpretação: Para cada 2 bois, há 3 vacas. Essa é uma razão direta entre as quantidades.

Exemplo 2 — Proporção

Agora que já compreendemos a razão, podemos aplicar o conceito de proporção.

Sabendo que $\frac{2}{3} = \frac{x}{9}$ , determine o valor de $x$ .

1️⃣ Identificação dos dados:

Proporção: $\frac{2}{3} = \frac{x}{9}$

2️⃣ Aplicar a propriedade fundamental das proporções:

$a \times d = b \times c$

$2 \times 9 = 3 \times x$

3️⃣ Resolver a equação:

$18 = 3x \Rightarrow x = 6$

✅ Resultado: $x = 6$ .

Interpretação: Mantendo a mesma proporção, se o denominador aumenta para 9, o numerador correspondente deve ser 6 para preservar a igualdade entre as razões.

Exemplo 3 — Aplicação prática: escalas

As escalas de mapas são um exemplo clássico de proporção. Elas representam uma comparação entre o tamanho real e o tamanho reduzido no papel.

Um mapa foi desenhado na escala de 1 : 100.000, o que significa que 1 cm no mapa representa 100.000 cm na realidade.

1️⃣ Identificação da razão:

$\frac{1}{100.000}$

2️⃣ Conversão para metros:

$100.000\ \text{cm} = 1.000\ \text{m}$

✅ Resultado: 1 cm no mapa representa 1 km na realidade.

Interpretação: As escalas são exemplos práticos de proporção: há uma correspondência constante entre as medidas do mapa e as medidas reais, mantendo a mesma relação proporcional.

Conclusão

A razão e a proporção são ferramentas essenciais para comparar grandezas e resolver problemas envolvendo relações diretas e indiretas. Elas estão na base de conceitos como escalas, porcentagens, regras de três, velocidade, densidade e juros — formando um elo entre a matemática do cotidiano e a aplicada.

Em resumo:

$\boxed{\text{Razão: } a:b = \frac{a}{b}} \quad \text{e} \quad \boxed{\text{Proporção: } \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \times d = b \times c}$

Dominar esses conceitos é fundamental para compreender como diferentes valores se relacionam e variam de maneira proporcional, tornando os cálculos e interpretações numéricas muito mais intuitivos.