Propriedade da Proporções

As proporções possuem propriedades fundamentais que facilitam a resolução de problemas matemáticos e a compreensão das relações entre grandezas. Abaixo estão as principais, acompanhadas de exemplos práticos para melhor compreensão:

1️⃣ Inversão

É possível inverter os termos de cada razão sem alterar a igualdade. Essa propriedade é útil quando se deseja reorganizar as frações ou simplificar cálculos.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Exemplo: Se $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ , então também é verdadeiro que $\frac{3}{2} = \frac{6}{4}$ .

Interpretação: Inverter os termos não altera a proporção — apenas inverte o sentido da comparação.

2️⃣ Permutação

Podemos trocar os meios pelos extremos, mantendo a igualdade da proporção. Essa propriedade é muito utilizada para isolar variáveis em problemas de regra de três.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

Exemplo: Se $\frac{4}{6} = \frac{10}{15}$ , então também é verdadeiro que $\frac{4}{10} = \frac{6}{15}$ .

Interpretação: Ao trocar os meios pelos extremos, a igualdade permanece válida, pois a relação proporcional é mantida.

3️⃣ Composição e decomposição

Ao somar ou subtrair numerador e denominador de cada razão pelos seus respectivos termos, a igualdade permanece verdadeira. Essa propriedade ajuda a comparar totais e diferenças em situações proporcionais.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a \pm b}{b} = \frac{c \pm d}{d}$

Exemplo: Se $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ , então $\frac{2 + 3}{3} = \frac{4 + 6}{6} \Rightarrow \frac{5}{3} = \frac{10}{6}$ , o que mantém a mesma proporção.

Interpretação: Essa propriedade mostra que é possível combinar (somar ou subtrair) os termos da proporção sem quebrar sua relação de igualdade.

4️⃣ Propriedade das somas

Se duas razões são iguais, a razão formada pela soma dos numeradores e a soma dos denominadores também é equivalente a elas. É aplicada quando se deseja combinar proporções equivalentes.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a + c}{b + d} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Exemplo: Se $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ , então $\frac{2 + 4}{3 + 6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

Interpretação: A soma dos termos de duas proporções equivalentes gera uma nova proporção com o mesmo valor.

5️⃣ Produto dos meios e dos extremos

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Essa é a propriedade mais importante das proporções e serve de base para a regra de três, muito utilizada em cálculos cotidianos.

$a \times d = b \times c$

Exemplo: Se $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ , então $2 \times 6 = 3 \times 4 \Rightarrow 12 = 12$ .

Interpretação: Essa igualdade entre produtos confirma a validade de qualquer proporção e é a ferramenta mais usada para encontrar o valor desconhecido em problemas práticos.

Propriedade da Proporções

1️⃣ Inversão

2️⃣ Permutação

3️⃣ Composição e decomposição

4️⃣ Propriedade das somas

5️⃣ Produto dos meios e dos extremos

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