Regra de Três

A Regra de Três é um método prático utilizado para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais. Ela permite descobrir um valor desconhecido (incógnita) a partir da relação entre três outros valores conhecidos.

Esse recurso é amplamente usado em situações do cotidiano — como em receitas, escalas, descontos, juros, porcentagens, velocidade média, tempo e produção — pois traduz diretamente a ideia de “se uma quantidade aumenta, o que acontece com a outra?”

Conceito básico

Na Regra de Três, estabelecemos uma proporção entre duas razões. A partir de três valores conhecidos, calculamos o quarto valor desconhecido por meio da igualdade:

$\boxed{\frac{a}{b} = \frac{c}{x}}$

Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:

$\boxed{a \times x = b \times c}$

Assim, o valor desconhecido $x$ pode ser calculado por:

$\boxed{x = \frac{b \times c}{a}}$

Tipos de Regra de Três

Existem dois tipos principais de Regra de Três: simples e composta. A escolha depende do número de grandezas envolvidas no problema.

1️⃣ Regra de Três Simples

É usada quando há apenas duas grandezas que se relacionam de forma direta ou inversa.

🔹 Direta

Quando uma grandeza aumenta e a outra também aumenta (ou ambas diminuem). As razões são proporcionais.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$

Exemplo: Se 3 laranjas custam R$ 6, quanto custarão 5 laranjas?

Identificação:

3 laranjas → R$ 6
5 laranjas → R$ x

Resolução:

$\frac{3}{5} = \frac{6}{x} \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10$

✅ Resultado: 5 laranjas custarão R$ 10.

Interpretação: Como a quantidade de laranjas aumentou, o valor também aumentou — uma relação diretamente proporcional.

🔹 Inversa

Quando uma grandeza aumenta enquanto a outra diminui. Nesse caso, as razões são inversamente proporcionais.

$\frac{a}{b} = \frac{x}{c}$

Exemplo: Se 4 operários constroem um muro em 6 dias, em quantos dias 8 operários fariam o mesmo trabalho?

Identificação:

4 operários → 6 dias
8 operários → x dias

Como é uma relação inversa: mais operários → menos dias

Resolução:

$4 \times 6 = 8 \times x \Rightarrow 24 = 8x \Rightarrow x = 3$

✅ Resultado: 8 operários farão o mesmo muro em 3 dias.

Interpretação: Quando a quantidade de trabalhadores dobra, o tempo necessário é reduzido pela metade — uma relação inversamente proporcional.

2️⃣ Regra de Três Composta

A Regra de Três Composta é usada quando há mais de duas grandezas envolvidas. Ela é uma extensão da regra simples, e sua aplicação depende da análise das relações diretas e inversas entre as variáveis.

Passos para resolver:

Identificar todas as grandezas envolvidas.
Verificar se cada grandeza é diretamente ou inversamente proporcional àquela que contém o valor desconhecido.
Montar a proporção considerando as inversões necessárias.

Exemplo: 4 máquinas produzem 80 peças em 5 horas. Quantas peças produzirão 6 máquinas em 10 horas?

Identificação das grandezas:

Máquinas
Horas
Peças

1️⃣ Comparação:

Máquinas ⟶ relação direta (mais máquinas, mais peças)
Horas ⟶ relação direta (mais tempo, mais peças)

2️⃣ Montagem da proporção:

$\frac{4}{6} \times \frac{5}{10} = \frac{80}{x}$

3️⃣ Resolução:

$\frac{4 \times 5}{6 \times 10} = \frac{80}{x} \Rightarrow \frac{20}{60} = \frac{80}{x} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{80}{x} \Rightarrow x = 240$

✅ Resultado: 6 máquinas produzirão 240 peças em 10 horas.

Interpretação: Como as duas grandezas são diretamente proporcionais, o aumento em máquinas e tempo multiplica a produção total.

Dica prática

Para resolver qualquer regra de três com segurança:

Monte as grandezas em colunas, sempre mantendo a mesma unidade.
Indique com uma seta ⬆️ ou ⬇️ se a relação é direta ou inversa.
Monte a proporção corretamente antes de multiplicar cruzado.

Conclusão

A Regra de Três é uma aplicação direta do conceito de proporção. Por meio dela, é possível resolver problemas de variação de grandezas de forma rápida e lógica.

Dominar esse raciocínio é essencial para o estudo de porcentagem, juros, escalas e grandezas físicas — consolidando o aprendizado sobre as relações proporcionais na matemática.

$\boxed{\text{Proporção fundamental: } a \times x = b \times c} \quad \Rightarrow \quad \boxed{x = \frac{b \times c}{a}}$